Gerbang Logika dan Aljabar boolean part 3

     Memahami Peta Karnaugh

Peta Karnaugh adalah sebuah metode untuk:

1. Menyederhanakan sebuah fungsi persamaan logika. Menyederhanakan fungsi persamaan logika sebenarnya bisa dilakukan dengan menggunakan aturan-aturan baku seperti:

• Distributif. Misalnya (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ≡ p ∧ (q ∨ r)  atau (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ≡ p ∨ (q ∧ r). 
• De Morgan seperti ~p ∨ ~q ≡ ~(p ∧ q) atau ~p ∧ ~q
• Hukum penyerapan  seperti p ∧ (p ∨ q) ≡ p atau p ∨ (p ∧ q) ≡ p

2. Mencari fungsi persamaan logika dari sebuah tabel kebenaran. Terkadang, kita memiliki sebuah tabel kebenaran (yang diperoleh dari pengumpulan kasus atau kejadian) tetapi belum memiliki persamaan logikanya sehingga sulit membuat untai rangkaian logikanya.

Permasalahan-permasalahan diatas dapat diselesaikan dengan peta karnaugh.

Peta Karnaugh

Peta karnaugh (atau K-Map) diperkenalkan oleh Maurice Karnaugh tahun 1953 (wikipedia) adalah sebuah metode untuk menyederhanakan fungsi persamaan logika sehingga (Freddy Kurniawan: Sistem Digital):

1. Menggunakan jumlah gerbang lebih sedikit sehingga waktu tunda total untai menjadi lebih kecil
2. Kemungkinan resiko kegagalan fungsi lebih kecil karena penggunaan gerbang dan perkawatan yang lebih sedikit
3. Daya total yang dikonsumsi untai logika juga akan lebih kecil.
4. Hemat biaya

Peta Karnaugh di-"ilustrasikan" seperti matrik 2 dimensi (terdiri atas baris dan kolom) dimana komponen baris dan kolom adalah masukan (input) dari sistem. Input dari masukan inilah yang kemudian disebut variabel K-Map nya. Sehingga ada sebutan K-Map 2 Peubah, K-Map 3 Peubah, 4 peubah dst.

K-Map efektif digunakan hanya sampai 6 peubah saja. Untuk peubah lebih dari 6, tidak lagi di-rekomendasikan menggunakan K-Map karena komputasinya sangat tinggi sehingga disarankan menggunakan program komputer khusus. Tutorial kali ini, saya akan membahas K-Map hingga 4 Variabel. Untuk K-Map 5 dan 6 Peubah akan dibahas pada tutorial berikutnya.

Menggambar peta karnagh

Peta Karnaugh 2 Peubah:

Ilustrasi berikut adalah peta karnaugh 2 peubah (A dan B).

Kelompok Baris adalah masukan A dan Kelompok Kolom adalah masukan B. Tidak ada yang spesial dari aturan K-Map 2 Variabel. Anda bisa menulisnya 0 kemudian 1 (sesuai contoh) atau 1 kemudian 0.

Sekarang kita lihat tabel kebenaran dari fungsi yang akan kita buat. Asumsikan, kita tidak memiliki fungsi persamaan dari tabel kebenaran berikut dan kita akan membuatnya.

Setiap cell dari matrik (bagian tengah) akan kita isi dengan hasil atau result dari tabel kebenaran. Sebagai contoh:

Peta Karnaugh 3 Peubah:

Sedikit berbeda dengan peta karnaugh 2 peubah, K-Map 3 peubah menggunakan 2 peubah di satu rusuk dan 1 peubah di rusuk yang lain. Anda bisa membuat K-Map dengan 2 peubah di rusuk tegak, dan 1 peubah di rusuk mendatar atau sebaliknya. Perhatikan gambar:

Yang perlu diperhatikan di sini adalah penyusunan kombinasi masukan 2 peubah harus mengikuti kaidah "perubahan di satu tempat". Artinya transisi dari "0" ke "1" hanya di satu tempat saja. Sebagai contoh, kombinasi masukan dari "01" menjadi "11". Transisi yang terjadi pada kombinasi ini hanya pada masukan A (dari 0 menjadi 1) sedangkan masukan B tetap (1 tetap 1). Jadi anda tidak boleh menulis "01" kemudian "10" (seperti yang biasa anda lakukan di tabel kebenaran). Mengapa? karena jika susunan-nya "01" kemudian "10", berarti perubahan terjadi di 2 masukan, A berubah dari "0" menjadi "1" dan masukan B berubah dari "1" menjadi "0".

Seperti pada K-Map 2 peubah, isi Cell dari K-Map 3 peubah juga berisi result (hasil) dari tabel kebenaran. Sebagai contoh:

Anda boleh menggunakan K-Map yang atas atau yang bawah.

Peta Karnaugh 4 Peubah:

Untuk K-Map 4 peubah, anda dapat memasukkan 2 peubah di rusuk tegak dan 2 peubah di rusuk mendatar. Perhatikan gambar:

Daerah Minterm

Nah sekarang kita sudah bisa menggambar peta Karnaugh atau K-Map dengan 2, 3 dan 4 peubah. Proses berikutnya adalah menentukan daerah minterm. Daerah minterm adalah sebuah daerah di dalam K-Map yang berisi nilai 1 yang "bertetangga" (akan dijelaskan dalam contoh). Keanggotaan sebuah daerah minterm bisa berisi 2^n dimana n bernilai 0, 1, 2, 3, ... dst. Sehingga keanggotaan wilayah minterm bisa 1, 2, 4, 8, 16, dst.

Melukiskan daerah minterm, bisa secara vertikal (atas bawah) atau horisontal (kiri dan kanan) tetapi tidak bisa secara diagonal.

Contoh daerah minterm untuk K-Map 2 peubah adalah sebagai berikut:

Keterangan:

(A): Karena nilai "1" hanya ada satu, maka daerah mintermnya juga hanya 1.

(B): Nilai "1" ada di dua tempat (cell) tetapi mereka bertetangga secara diagonal, maka angka-angka "1" tersebut tidak bisa menjadi satu wilayah minterm.

(C): Terdapat 2 wilayah minterm dengan masing-masing memiliki 2 anggota angka "1".

(D): Mirip dengan kasus point (B).

Sedikit berbeda untuk K-Map dengan dimensi yang lebih besar(di atas dimensi 2x2), K-Map "dipandang sebagai sebuah bidang yang "bulat" seperti globe. Artinya daerah minterm bisa saja "menyatukan" angka 1 yang di sisi atas dan bawah atau kiri dan kanan secara berputar. Lihat contoh di bawah ini:

Ingat: Tidak bisa diagonal saja.

Membangun persamaan dari daerah minterm di K-Map

Setelah daerah minterm sudah kita tandai, proses berikutnya adalah menentukan persamaan dari daerah minterm tersebut. Kita bisa menggunakan asas "konsistensi" untuk memudahkan membangun persamaan daerah minterm tersebut. Konsistensi yang saya maksud adalah nilai masukan yang TIDAK BERUBAH di setiap sel daerah minterm. Sebagai contoh untuk daerah minterm yang hanya berisi satu anggota seperti pada gambar berikut:

Karena kita tidak bisa membuat daerah minterm secara diagonal maka K-Map di atas memiliki 2 daerah minterm. Untuk daerah mintem yang berisi satu anggota saja, membuat persamaannya cukup mudah. Cukup lihat masukan untuk setiap daerah minterm tersebut.

Daerah minterm 1: masukan dari sisi baris adalah A'B dan dari sisi kolom adalah C'. Nilai akses (') di sini mengacu pada nilai 0 pada masukan A dan C (sedangkan karena nilai B bernilai "1" maka tidak diberi aksen atau NOT).

Daerah minterm 2: masukan dari sisi baris adalah AB dan dari sisi kolom adalah C (semua nilai masukan "1" maka tidak ada aksen)

Sehingga fungsi persamaan dari K-Map tersebut adalah: A'BC + ABC.

Pembuktian dengan tabel kebenaran:

Untuk daerah minterm yang berisi lebih dari satu, asas konsistensi bisa kita gunakan. Perhatikan contoh:

Pada contoh di atas, daerah mintem yang terbentuk memiliki empat anggota dimana masukannya adalah:

1. Sisi Baris (AB): 01 dan 11
2. Sisi Kolom (CD): 01 dan 11

Nilai yang konsisten di sisi baris adalah B. (A tidak konsisten karena ada A yang bernilai "1" dan ada A yang bernilai "0". Sedangkan nilai yang konsisten di sisi kolom adalah D. (nilai C tidak konsisten).

Sehingga persamaan untuk K-Map di atas adalah BD. Lihat pada tabel kebenaran berikut:

Contoh lain:

Daerah minterm 1 (yang berwarna biru): Masukan yang konsisten di sisi baris (masukan AB) adalah B dan masukan yang konsisten di sisi kolom adalah C sehingga rumus fungsinya adalah BC

Daerah minterm 2 (yang berwarna merah): Masukan yang konsisten di sisi baris (masukan AB) tidak ada (semuanya (baik A dan B) tidak ada yang konsisten) sedangkan masukan yang konsisten di sisi kolom adalah CD'.

Sehingga persamaan fungsi dari K-Map di atas adalah F = BC + CD'. Perhatikan tabel kebenaran berikut:

     langkah-langkah penyelesaian dengan metode karnaugh map

1. Menyusun aljabar Boolean terlebih dahulu

2. Menggambar rangkaian digital

3. Membuat Table Kebenarannya

4, Merumuskan Tabel Kebenarannya

5. memasukkan rumus Tabel Kebenaran ke K-Map (Kotak-kotak)

Gambar 1. Penyederhanaan menggunakan K-Maps

    contoh penyelesaian soal dengan karnaugh map variabel

Penyederhanaan Dua Variabel

Catatan : Bar = ‘

Tabel dari K-Map 2 variabel adalah seperti dibawah ini

Contoh Soal :

H = AB + A’B+AB’

Maka cara pengerjaanya seperti dibawah ini

Bar (‘) atau aksen biasanya ditulis kedalam angka 0 sedangkan angka 1 adalah tanpa Bar aksen.

Dan dapat dipermudah lagi menjadi dibawah ini :

Yang dapat disederhanakan dalam K-Map hanya 2 / kelipatan 2 dari kotak yang berdempetan dan sedangkan jika seperti kotak diatas maka penyderhanaannya:

Karena kolom ber angka 1 dan baris ber angka 1 memenuhi setiap garisnya, maka dapat disimpulkan kalau H = AB + A’B+AB’ K-Map nya adalah AB/BA

Penyederhanaan Tiga Variabel

Catatan : Bar = ‘

Tabel dari K-Map 3 variabel adalah seperti dibawah ini

Contoh Soal

H = ABC + A’BC+A’B’C+AB’C

Maka cara pengerjaanya seperti dibawah ini

Dan dapat dipermudah lagi menjadi dibawah ini

Sekarang kita lihat, karena yang memenuhi setiap kotaknya adalah baris 01 dan 11 sedangkan simbol 01 artinya adalah (B’C) dan 11 artinya adalah (BC) dan simbol yang tidak ada aksen nya hanya C, maka H = ABC + A’BC+A’B’C+AB’C adalah C.

Penyederhanaan empat variabel

Catatan : Bar = ‘

Tabel dari K-Map 4 variabel adalah seperti dibawah ini :

Contoh Soal

H = ABCD + ABCD’+AB’CD+ABC’D’

Maka cara pengerjaanya seperti dibawah ini

Dan dapat dipermudah lagi menjadi dibawah ini :

Karena yang ada angka 1 nya ada di kolom dan baris 1100, 1111, 1110 dan 1011, yaitu AB, ABCD, ABC dan ACD maka jika kita eliminasi dengan cara mengambil huruf yang sama saja menjadi AB + ABC + ACD.

Penyederhanaan 5 variabel