Gerbang logika dan aljabar boolean part 2

 GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN

1. Peran Gerbang Logika   

Gerbang logika dapat digunakan untuk merancang dan mendesain sistem digital yang dikendalikan oleh level masukan digital dan menghasilkan sebuah keluaran yang bergantung pada rangkaian logika itu sendiri. Gerbang logika banyak digunakan untuk praktek di laboratorium pada pembahasan mengenai elektronika digital.

2. Peran Aljabar Boolean

Aljabar Boolean atau dalam bahasa Inggris disebut dengan Boolean Algebra adalah matematika yang digunakan untuk menganalisis dan menyederhanakan Gerbang Logika pada Rangkaian-rangkaian Digital Elektronika. Boolean pada dasarnya merupakan Tipe data yang hanya terdiri dari dua nilai yaitu “True” dan “False” atau “Tinggi” dan “Rendah” yang biasanya dilambangkan dengan angka “1” dan “0” pada Gerbang Logika ataupun bahasa pemrograman komputer. Aljabar Boolean ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang Matematikawan yang berasal dari Inggris pada tahun 1854. Nama Boolean sendiri diambil dari nama penemunya yaitu George Boole.

Penyederhanaan Logika

Metode Penyederhanaan Logika

Ada beberapa metode untuk menyederhanakan logika di antaranya :

a. Karnaugh Map

b. Diagram Venn

c. Quinne_Mc Cluskey

A.  Karnuagh Map

Karnaugh Map Method (metode peta Karnaugh ) adalah metode untuk menyederhanakan persamaan aljabar Boolean. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Maurice Karnaugh pada tahun 1953 yang merupakan penyederhanaan dari metode Veitch Chart (Kartu Veitch).

Langkah-langkah menggunakan metode peta Karnaugh adalah sebagai berikut

1. Pastikan terlebih dahulu persamaan Boolen berada dalam bentuk standar. Dalam hal ini saya menggunakan standar SOP (Sum Of Product).

Contoh :

2. Susun tabel kebenaran untuk persamaan di atas

3. Buat peta Karnaugh dengan jumlah kotak 2n dengan n = banyaknya variabel. Dari contoh di atas, terdapat 3 variabel sehingga kotak peta Karnaugh adalah 23 = 8 kotak. Dan masukkan minterm (m) dari tabel kebenaran ke dalam kotak yang sesuai.

4. Buat loop atau kelompok pada minterm-minterm yang berdekatan dengan banyaknya anggota kelompok 1, 2, 4, 8 atau 16 supaya dapat dihilangkan minterm yang berlawanan.

Pada tabel Karnaugh di atas terdapat kelompok dengan 2 anggotam minterm yaitu kelompok biru dan kelompok merah. Masing-masing kelompok beranggotakan 2 minterm. Maka persamaan minimum dapat diperoleh dari gabungan minterm yang ada pada tiap-tiap kelompok yaitu :

5. Tulis ulang bentuk minimum dari persamaan aljabar Boolean yaitu :

6. Buat rangkaian digital dengan menggunakan persamaan minumum pada no 5

Gambar 1 rangkaian digital untuk persamaan no 5

Metoda peta Karnaugh sangat berguna dan efektif untuk mendesain rangkaian digital terutama untuk rangkaian-rangkaian digital dengan banyak variabel.

B. Diagram Venn

Salah satu cara untuk memudahkan untuk melukiskan hubungan antara variabel dalam aljabar boolean adalah dengan  menggunakan diagram venn. Diagram ini terdiri dari sebuah segi empat yang didalamnya dilukis lingkaran-lingkaran yang mewakili variabelnya, satu lingkaran untuk setiap variabelnya. Masing-masing lingkaran itu diberi nama menurut variabel yang diwakilinya. Ditentukan bahwa semua titik diluar lingkaran itu tidak dimiliki oleh variabel tersebut. Misalnya lingkaran dengan nama A, jika dalam lingkaran itu dikatakan bernilai 1, maka diluar a dikatakan bernilai 0. untuk dua lingkaran yang bertumpang tindih, terdapat empat daerah dalam segiempat tersebut.Diagram venn hanya cocok apabila jumlah variabelnya tidak lebih dari 3, karena bila lebih dari 3 variabel akan sulit menghitungnya.

3.2.1. Diagram Venn 2 Variabel.

c. MetodeQuinne_Mc Cluskey

Dengan Peta Karnaugh, penyelesaian persamaan lebih dari empat variabel adalah kompleks. Metode tabulasi dari Quine-Mc.Cluskey dapat membantuk menyelesaiakan persamaan 

yang kompleks tersebut.

Metode tabulasi Quine-Mc.Cluskey terdiri dari dua bagian, yaitu :

a.    Menentukan term-term sebagai kandidat (prime implicant)

b.    Memilih prime implicant untuk menentukan ekspresi dengan jumlah literal sedikit.

Contoh kasus :

Sederhanakan F(w,x,y,z) = ∑m(0,2,3,6,7,8,9,10,13)

Langkah – langkahnya adalah sebagai berikut :

A.    Menentukan term-term sebagai kandidat (prime implicant)

A.1.Susun tabel minterm,  bentuk biner dari minterm,  dan banyaknya angka 1 pada kode biner tersebut.

Minterm	Bentuk biner	Jumlah angka 1
m0	0000	0
m2	0010	1
m3	0011	2
m6	0110	2
m7	0111	3
m8	1000	1
m9	1001	2
m10	1010	2
m13	1101	3

Kelompok	Jumlah angka 1	Minterm	Bentuk biner
0	0	m0	0000
1	1 1	m2 m8	0010 1000
2	2	m3	0011
	2 2 2	m6 m9 m10	0110 1001 1010
3	3 3	m7 m13	0111 1101

A.2.Urutkan dan kelompokkan data pada tabel diatas berdasarkan jumlah angka 1 yang terdapat pada  kode binernya.

A.3Pasangkan dua buah minterm dengan ketentuan sebagai berikut :

-  Kedua minterm tersebut hanya memiliki perbedaan 1 digit pada kode binernya

-  Kedua minterm harus dari 2 kelompok yang berbeda dan dari kelompok yang berurutan

-  Mengganti digit yang berbeda dengan tanda “-” dan hasil pasangan yang didapatkan kita

masukkan ke tabel baru yang disebut tabel “Kubus-1”

Contoh 1 :

m0 (0000) dan m2 (0010) BOLEH dipasangkan.

Karena :

·   memiliki perbedaan 1 digit pada kode binernya yaitu digit 2-an

·   m0 dan m2 berasal dari dua kelompok yang berurutan yaitu kelompok-0 dan

kelompok-1

·   sebagai hasil pemasangannya adalah 00-0 (pada digit yang berbeda diganti dengan -)

·   setiap kali kita menyusun pasangan, jangan lupa untuk memberikan  tanda ( √ ) pada minterm yang terlibat, tanda ini sebagai pengingat bahwa minterm tersebut pernah  dipasangkan.

Secara keseluruhan pasangan yang BOLEH dilakukan antara lain :

Pasangan minterm	Hasil pasangan
m0 (kelompok 0) m2 (kelompok 1)	0000 0010 00 -0
m0 (kelompok 0) m8 (kelompok 1)	0000 1000 -000
m2 (kelompok 1) m3 (kelompok 2)	0010 0011 001-
m2 (kelompok 1) m6 (kelompok 2)	0010 0110 0-10
m2 (kelompok 1) m10 (kelompok 2)	0010 1010 -010
m8 (kelompok 1) m9 (kelompok 2)	1000 1001 100-
m8 (kelompok 1) m10 (kelompok 2)	1000 1010 10-0
m3 (kelompok 2) m7 (kelompok 3)	0011 0111 0-11
m6 (kelompok 2) m7 (kelompok 3)	0110 0111 011-
m9 (kelompok 2) m13 (kelompok 3)	1001 1101 1-01

Kelompok	Jumlah angka 1	Minterm	Bentuk biner	tanda
0	0	m0	0000	√
1	1 1	m2 m8	0010 1000	√ √
2	2	m3	0011	√
	2 2 2	m6 m9 m10	0110 1001 1010	√ √ √
3	3 3	m7 m13	0111 1101	√ √

Catatan :

O Tidak boleh  memasangkan  2  buah  minterm  yang  memiliki  perbedaan  lebih  dari  1  digit Pada kode binernya.

O Tidak  boleh  mernasangkan  2  buah  minterm  yang berasal  dari  dua  kelompok  yang tidak berurutan

Dari pemasangan yang dilakukan akan didapatkan table minterm dan table kubus-1 sebagai berikut :

Tabel Kubus-1
m0,m2 m0,m8	00-0 -000
m2,m3 m2,m6 m2,m10 m8,m9 m8,m10	001- 0-10 -010 100- 10-0
m3,m7 m6,m7	0-11 011-
m9,m13	1-01

Lakukan pemasangan serupa terhadap data hasli yang tertera pada kubus-1 dan tuliskan hasilnya pada kubus 2.

Kubus-1
m0,m2 m0,m8	00-0 -000	√ √
m2,m3 m2,m6 m2,m10 m8,m9 m8,m10	001- 0-10 -010 100- 10-0	√ √ √ ** √
m3,m7 m6,m7 m9,m13	0-11 011- 1-01	√ √ **

Catatan :

Tanda bintang ( ** ) menandakan bahwa minterm tersebut belum pernah mendapat pasangan pada proses membentukan tabel kubus berikutnya.

Minterm ini dinamakan sebagai Prime Implicant.

 

Kubus-2
m0,m2  &  m8,m10	-0-0
m0,m8  &  m2,m10	-0-0
m2,m3  &  m6,m7	0-1-
m2,m6  &  m3,m7	0-1-

Kubus-2
m0,m2  &  m8,m10	-0-0
m2,m3  &  m6,m7	0-1-

Jika pasangan minterm menghasilkan kode biner yang sama maka cukup ditulis salah satu saja. Sehingga tabel kubus-2 menjadi :

A.4.    Jika masih menungkinkan lakukan pemasangan lagi terhadap data pada kubus-kubus berikutnya hingga tidak ada lagi data pada kubus terakhir yang bisa dipasangkan lebih lanjut.

A.5.    Jika sudah tidak ada lagi yang bisa dipasangkan seperti pada kubus-2, sebenarnya kita sudah mendapatkan prime implikant.

Kubus-2
m0,m2  &  m8,m10	-0-0	**
m2,m3  &  m6,m7	0-1-	**

Pada contoh ini kita mendapatkan 4 prime implicant yaitu :

m8,m9                               →       1 0 0  -

m9,m13                             →       1 -  0 1

m0,m2 & m8,m10             →       -  0 -  0

m2,m3 & m6,m7                →         0 -  1 -

B.    Memilih prime implicant untuk menentukan ekspresi dengan jumlah literal sedikit

B.1  Susun tabel prime implicant (lihat tabel berikut ini).

Flag	Prime Implicant	m0	m2	m3	m6	m7	m8	m9	m10	m13
	m0,m2 & m8,m10	*	*				*		*
	m2,m3 & m6,m7		*	*	*	*
	m8,m9						*	*
	m9,m13							*		*

B.2  Beri tanda ‘√‘ pada kolom flag untuk kelompok prime implicant yang memiliki kolom bertanda * satu buah saja

Flag	Prime Implicant	m0	m2	m3	m6	m7	m8	m9	m10	m13
√	m0,m2 & m8,m10	ê	*				*		ê
√	m2,m3 & m6,m7		*	ê	ê	ê
	m8,m9						*	*
√	m9,m13							*		ê

Catatan :   pada  kelompok  prime  implicant  m8,  m9  tidak  diberi  tanda  ‘ê’  karena  tidak  memiliki kolom  yang  hanya  memua t satu  tanda  ‘* ’

B.3  Prime Implicant  yang  memiliki  tanda ‘ê ‘  adalah  yang  terpilih  untuk  penyusunan  fungsi boolean  yang  dimaksud.

 Susun fungsi boolean berdasarkan prime implicat yang terpilih, yaitu :

m0,m2 & m8,m10           :  - 0 – 0      →  x’ z’

m2,m3 & m6,m7             :  0 – 1 -     →  w’y

m9,m13                          :  1 – 0 1    →  wy’z

Jadi fungsi boolean yang dimaksud adalah :

F(w,x,y,z) = x’ z’ + w’y + wy’z

Bentuk Kanonik Dalam Aljabar Boolean

Contoh dan  POS  dan   SOP          

 Membuat ekspresi Boolean dalam bentuk SOP dan POS dari tabel kebenaran ini :

Penyelesaian :

a. Dalam bentuk SOP, maka yang dilihat adalah Y = 1

b. Dalam bentuk POS, maka yang dilihat adalah Y = 0