GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN
1. Peran Gerbang Logika Gerbang logika dapat digunakan untuk merancang dan mendesain sistem digital yang dikendalikan oleh level masukan digital dan menghasilkan sebuah keluaran yang bergantung pada rangkaian logika itu sendiri. Gerbang logika banyak digunakan untuk praktek di laboratorium pada pembahasan mengenai elektronika digital.2. Peran Aljabar BooleanAljabar Boolean atau dalam bahasa Inggris disebut dengan Boolean Algebra adalah matematika yang digunakan untuk menganalisis dan menyederhanakan Gerbang Logika pada Rangkaian-rangkaian Digital Elektronika. Boolean pada dasarnya merupakan Tipe data yang hanya terdiri dari dua nilai yaitu “True” dan “False” atau “Tinggi” dan “Rendah” yang biasanya dilambangkan dengan angka “1” dan “0” pada Gerbang Logika ataupun bahasa pemrograman komputer. Aljabar Boolean ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang Matematikawan yang berasal dari Inggris pada tahun 1854. Nama Boolean sendiri diambil dari nama penemunya yaitu George Boole.Penyederhanaan LogikaMetode Penyederhanaan Logika
Ada beberapa metode untuk menyederhanakan logika di antaranya :a. Karnaugh Mapb. Diagram Vennc. Quinne_Mc CluskeyA. Karnuagh MapKarnaugh Map Method (metode peta Karnaugh ) adalah metode untuk menyederhanakan persamaan aljabar Boolean. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Maurice Karnaugh pada tahun 1953 yang merupakan penyederhanaan dari metode Veitch Chart (Kartu Veitch).
Langkah-langkah menggunakan metode peta Karnaugh adalah sebagai berikut
1. Pastikan terlebih dahulu persamaan Boolen berada dalam bentuk standar. Dalam hal ini saya menggunakan standar SOP (Sum Of Product).
Contoh :
2. Susun tabel kebenaran untuk persamaan di atas
3. Buat peta Karnaugh dengan jumlah kotak 2n dengan n = banyaknya variabel. Dari contoh di atas, terdapat 3 variabel sehingga kotak peta Karnaugh adalah 23 = 8 kotak. Dan masukkan minterm (m) dari tabel kebenaran ke dalam kotak yang sesuai.
4. Buat loop atau kelompok pada minterm-minterm yang berdekatan dengan banyaknya anggota kelompok 1, 2, 4, 8 atau 16 supaya dapat dihilangkan minterm yang berlawanan.
Pada tabel Karnaugh di atas terdapat kelompok dengan 2 anggotam minterm yaitu kelompok biru dan kelompok merah. Masing-masing kelompok beranggotakan 2 minterm. Maka persamaan minimum dapat diperoleh dari gabungan minterm yang ada pada tiap-tiap kelompok yaitu :
5. Tulis ulang bentuk minimum dari persamaan aljabar Boolean yaitu :
6. Buat rangkaian digital dengan menggunakan persamaan minumum pada no 5
Gambar 1 rangkaian digital untuk persamaan no 5
Metoda peta Karnaugh sangat berguna dan efektif untuk mendesain rangkaian digital terutama untuk rangkaian-rangkaian digital dengan banyak variabel.
B. Diagram Venn
Salah satu cara untuk memudahkan untuk melukiskan hubungan antara variabel dalam aljabar boolean adalah dengan menggunakan diagram venn. Diagram ini terdiri dari sebuah segi empat yang didalamnya dilukis lingkaran-lingkaran yang mewakili variabelnya, satu lingkaran untuk setiap variabelnya. Masing-masing lingkaran itu diberi nama menurut variabel yang diwakilinya. Ditentukan bahwa semua titik diluar lingkaran itu tidak dimiliki oleh variabel tersebut. Misalnya lingkaran dengan nama A, jika dalam lingkaran itu dikatakan bernilai 1, maka diluar a dikatakan bernilai 0. untuk dua lingkaran yang bertumpang tindih, terdapat empat daerah dalam segiempat tersebut.Diagram venn hanya cocok apabila jumlah variabelnya tidak lebih dari 3, karena bila lebih dari 3 variabel akan sulit menghitungnya.3.2.1. Diagram Venn 2 Variabel.c. MetodeQuinne_Mc CluskeyDengan Peta Karnaugh, penyelesaian persamaan lebih dari empat variabel adalah kompleks. Metode tabulasi dari Quine-Mc.Cluskey dapat membantuk menyelesaiakan persamaan yang kompleks tersebut.
Contoh kasus :
Langkah – langkahnya adalah sebagai berikut :Minterm Bentuk biner Jumlah angka 1 m0 0000 0 m2 0010 1 m3 0011 2 m6 0110 2 m7 0111 3 m8 1000 1 m9 1001 2 m10 1010 2 m13 1101 3
Kelompok Jumlah angka 1 Minterm Bentuk biner 0 0 m0 0000 1 1 m2 0010 2 2 m3 0011 2 m6 0110 3 3 m7 0111
A.2.Urutkan dan kelompokkan data pada tabel diatas berdasarkan jumlah angka 1 yang terdapat pada kode binernya.
A.3Pasangkan dua buah minterm dengan ketentuan sebagai berikut :
Contoh 1 :
Secara keseluruhan pasangan yang BOLEH dilakukan antara lain :
GERBANG LOGIKA DAN ALJABAR BOOLEAN
1. Peran Gerbang Logika
Gerbang logika dapat digunakan untuk merancang dan mendesain sistem digital yang dikendalikan oleh level masukan digital dan menghasilkan sebuah keluaran yang bergantung pada rangkaian logika itu sendiri. Gerbang logika banyak digunakan untuk praktek di laboratorium pada pembahasan mengenai elektronika digital.
2. Peran Aljabar Boolean
Aljabar Boolean atau dalam bahasa Inggris disebut dengan Boolean Algebra adalah matematika yang digunakan untuk menganalisis dan menyederhanakan Gerbang Logika pada Rangkaian-rangkaian Digital Elektronika. Boolean pada dasarnya merupakan Tipe data yang hanya terdiri dari dua nilai yaitu “True” dan “False” atau “Tinggi” dan “Rendah” yang biasanya dilambangkan dengan angka “1” dan “0” pada Gerbang Logika ataupun bahasa pemrograman komputer. Aljabar Boolean ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang Matematikawan yang berasal dari Inggris pada tahun 1854. Nama Boolean sendiri diambil dari nama penemunya yaitu George Boole.
Penyederhanaan LogikaMetode Penyederhanaan Logika
Ada beberapa metode untuk menyederhanakan logika di antaranya :
a. Karnaugh Map
b. Diagram Venn
c. Quinne_Mc Cluskey
A. Karnuagh Map
Karnaugh Map Method (metode peta Karnaugh ) adalah metode untuk menyederhanakan persamaan aljabar Boolean. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Maurice Karnaugh pada tahun 1953 yang merupakan penyederhanaan dari metode Veitch Chart (Kartu Veitch).
Langkah-langkah menggunakan metode peta Karnaugh adalah sebagai berikut
1. Pastikan terlebih dahulu persamaan Boolen berada dalam bentuk standar. Dalam hal ini saya menggunakan standar SOP (Sum Of Product).
Contoh :
2. Susun tabel kebenaran untuk persamaan di atas
3. Buat peta Karnaugh dengan jumlah kotak 2n dengan n = banyaknya variabel. Dari contoh di atas, terdapat 3 variabel sehingga kotak peta Karnaugh adalah 23 = 8 kotak. Dan masukkan minterm (m) dari tabel kebenaran ke dalam kotak yang sesuai.
4. Buat loop atau kelompok pada minterm-minterm yang berdekatan dengan banyaknya anggota kelompok 1, 2, 4, 8 atau 16 supaya dapat dihilangkan minterm yang berlawanan.
Pada tabel Karnaugh di atas terdapat kelompok dengan 2 anggotam minterm yaitu kelompok biru dan kelompok merah. Masing-masing kelompok beranggotakan 2 minterm. Maka persamaan minimum dapat diperoleh dari gabungan minterm yang ada pada tiap-tiap kelompok yaitu :
5. Tulis ulang bentuk minimum dari persamaan aljabar Boolean yaitu :
6. Buat rangkaian digital dengan menggunakan persamaan minumum pada no 5
Gambar 1 rangkaian digital untuk persamaan no 5
Metoda peta Karnaugh sangat berguna dan efektif untuk mendesain rangkaian digital terutama untuk rangkaian-rangkaian digital dengan banyak variabel.
B. Diagram Venn
Salah satu cara untuk memudahkan untuk melukiskan hubungan antara variabel dalam aljabar boolean adalah dengan menggunakan diagram venn. Diagram ini terdiri dari sebuah segi empat yang didalamnya dilukis lingkaran-lingkaran yang mewakili variabelnya, satu lingkaran untuk setiap variabelnya. Masing-masing lingkaran itu diberi nama menurut variabel yang diwakilinya. Ditentukan bahwa semua titik diluar lingkaran itu tidak dimiliki oleh variabel tersebut. Misalnya lingkaran dengan nama A, jika dalam lingkaran itu dikatakan bernilai 1, maka diluar a dikatakan bernilai 0. untuk dua lingkaran yang bertumpang tindih, terdapat empat daerah dalam segiempat tersebut.Diagram venn hanya cocok apabila jumlah variabelnya tidak lebih dari 3, karena bila lebih dari 3 variabel akan sulit menghitungnya.
3.2.1. Diagram Venn 2 Variabel.
c. MetodeQuinne_Mc Cluskey
Dengan Peta Karnaugh, penyelesaian persamaan lebih dari empat variabel adalah kompleks. Metode tabulasi dari Quine-Mc.Cluskey dapat membantuk menyelesaiakan persamaan
yang kompleks tersebut.
Metode tabulasi Quine-Mc.Cluskey terdiri dari dua bagian, yaitu :
a. Menentukan term-term sebagai kandidat (prime implicant)
b. Memilih prime implicant untuk menentukan ekspresi dengan jumlah literal sedikit.
Contoh kasus :
Sederhanakan F(w,x,y,z) = ∑m(0,2,3,6,7,8,9,10,13)
Langkah – langkahnya adalah sebagai berikut :
A. Menentukan term-term sebagai kandidat (prime implicant)
A.1.Susun tabel minterm, bentuk biner dari minterm, dan banyaknya angka 1 pada kode biner tersebut.
Minterm | Bentuk biner | Jumlah angka 1 |
m0 | 0000 | 0 |
m2 | 0010 | 1 |
m3 | 0011 | 2 |
m6 | 0110 | 2 |
m7 | 0111 | 3 |
m8 | 1000 | 1 |
m9 | 1001 | 2 |
m10 | 1010 | 2 |
m13 | 1101 | 3 |
Kelompok | Jumlah angka 1 | Minterm | Bentuk biner |
0 | 0 | m0 | 0000 |
1 | 1 1 | m2 m8 | 0010 1000 |
2 | 2 | m3 | 0011 |
2 2 2 | m6 m9 m10 | 0110 1001 1010 | |
3 | 3 3 | m7 m13 | 0111 1101 |
A.2.Urutkan dan kelompokkan data pada tabel diatas berdasarkan jumlah angka 1 yang terdapat pada kode binernya.
A.3Pasangkan dua buah minterm dengan ketentuan sebagai berikut :
- Kedua minterm tersebut hanya memiliki perbedaan 1 digit pada kode binernya
- Kedua minterm harus dari 2 kelompok yang berbeda dan dari kelompok yang berurutan
- Mengganti digit yang berbeda dengan tanda “-” dan hasil pasangan yang didapatkan kita
masukkan ke tabel baru yang disebut tabel “Kubus-1”
Contoh 1 :
m0 (0000) dan m2 (0010) BOLEH dipasangkan.
Karena :
· memiliki perbedaan 1 digit pada kode binernya yaitu digit 2-an
· m0 dan m2 berasal dari dua kelompok yang berurutan yaitu kelompok-0 dan
kelompok-1
· sebagai hasil pemasangannya adalah 00-0 (pada digit yang berbeda diganti dengan -)
· setiap kali kita menyusun pasangan, jangan lupa untuk memberikan tanda ( √ ) pada minterm yang terlibat, tanda ini sebagai pengingat bahwa minterm tersebut pernah dipasangkan.
Secara keseluruhan pasangan yang BOLEH dilakukan antara lain :
Pasangan minterm | Hasil pasangan |
m0 (kelompok 0) m2 (kelompok 1) | 0000 0010 00 -0 |
m0 (kelompok 0) m8 (kelompok 1) | 0000 1000 -000 |
m2 (kelompok 1) m3 (kelompok 2) | 0010 0011 001- |
m2 (kelompok 1) m6 (kelompok 2) | 0010 0110 0-10 |
m2 (kelompok 1) m10 (kelompok 2) | 0010 1010 -010 |
m8 (kelompok 1) m9 (kelompok 2) | 1000 1001 100- |
m8 (kelompok 1) m10 (kelompok 2) | 1000 1010 10-0 |
m3 (kelompok 2) m7 (kelompok 3) | 0011 0111 0-11 |
m6 (kelompok 2) m7 (kelompok 3) | 0110 0111 011- |
m9 (kelompok 2) m13 (kelompok 3) | 1001 1101 1-01 |
Kelompok | Jumlah angka 1 | Minterm | Bentuk biner | tanda |
0 | 0 | m0 | 0000 | √ |
1 | 1 1 | m2 m8 | 0010 1000 | √ √ |
2 | 2 | m3 | 0011 | √ |
2 2 2 | m6 m9 m10 | 0110 1001 1010 | √ √ √ | |
3 | 3 3 | m7 m13 | 0111 1101 | √ √ |
Catatan :
Dari pemasangan yang dilakukan akan didapatkan table minterm dan table kubus-1 sebagai berikut :
Tabel Kubus-1 m0,m2 00-0 m2,m3 001- m3,m7 0-11 m9,m13 1-01
Lakukan pemasangan serupa terhadap data hasli yang tertera pada kubus-1 dan tuliskan hasilnya pada kubus 2.
Kubus-1 m0,m2 00-0 √ m2,m3 001- √
m3,m7 0-11 √
Catatan :
Kubus-2 m0,m2 & m8,m10 -0-0 m0,m8 & m2,m10 -0-0 m2,m3 & m6,m7 0-1- m2,m6 & m3,m7 0-1-
Kubus-2 m0,m2 & m8,m10 -0-0 m2,m3 & m6,m7 0-1-
Jika pasangan minterm menghasilkan kode biner yang sama maka cukup ditulis salah satu saja. Sehingga tabel kubus-2 menjadi :
A.4. Jika masih menungkinkan lakukan pemasangan lagi terhadap data pada kubus-kubus berikutnya hingga tidak ada lagi data pada kubus terakhir yang bisa dipasangkan lebih lanjut.Kubus-2
m0,m2 & m8,m10 -0-0 ** m2,m3 & m6,m7 0-1- **
Pada contoh ini kita mendapatkan 4 prime implicant yaitu :
B. Memilih prime implicant untuk menentukan ekspresi dengan jumlah literal sedikit
B.1 Susun tabel prime implicant (lihat tabel berikut ini).
Flag Prime Implicant m0 m2 m3 m6 m7 m8 m9 m10 m13
m0,m2 & m8,m10 * *
*
*
m2,m3 & m6,m7
* * * *
m8,m9
* *
m9,m13
*
*
B.2 Beri tanda ‘√‘ pada kolom flag untuk kelompok prime implicant yang memiliki kolom bertanda * satu buah saja
Flag Prime Implicant m0 m2 m3 m6 m7 m8 m9 m10 m13 √ m0,m2 & m8,m10 ê *
*
ê
√ m2,m3 & m6,m7
* ê ê ê
m8,m9
* *
√ m9,m13
*
ê
Catatan : pada kelompok prime implicant m8, m9 tidak diberi tanda ‘ê’ karena tidak memiliki kolom yang hanya memua t satu tanda ‘* ’
B.3 Prime Implicant yang memiliki tanda ‘ê ‘ adalah yang terpilih untuk penyusunan fungsi boolean yang dimaksud.
Jadi fungsi boolean yang dimaksud adalah :
F(w,x,y,z) = x’ z’ + w’y + wy’z
Bentuk Kanonik Dalam Aljabar Boolean
Catatan :
O Tidak boleh memasangkan 2 buah minterm yang memiliki perbedaan lebih dari 1 digit Pada kode binernya.
O Tidak boleh mernasangkan 2 buah minterm yang berasal dari dua kelompok yang tidak berurutan
Dari pemasangan yang dilakukan akan didapatkan table minterm dan table kubus-1 sebagai berikut :
Tabel Kubus-1 | |
m0,m2 m0,m8 | 00-0 -000 |
m2,m3 m2,m6 m2,m10 m8,m9 m8,m10 | 001- 0-10 -010 100- 10-0 |
m3,m7 m6,m7 | 0-11 011- |
m9,m13 | 1-01 |
Lakukan pemasangan serupa terhadap data hasli yang tertera pada kubus-1 dan tuliskan hasilnya pada kubus 2.
Kubus-1 | ||
m0,m2 m0,m8 | 00-0 -000 | √ √ |
m2,m3 m2,m6 m2,m10 m8,m9 m8,m10 | 001- 0-10 -010 100- 10-0 | √ √ √ ** √ |
m3,m7 m6,m7 m9,m13 | 0-11 011- 1-01 | √ √ ** |
Catatan :
Tanda bintang ( ** ) menandakan bahwa minterm tersebut belum pernah mendapat pasangan pada proses membentukan tabel kubus berikutnya.
Minterm ini dinamakan sebagai Prime Implicant.
Kubus-2 | |
m0,m2 & m8,m10 | -0-0 |
m0,m8 & m2,m10 | -0-0 |
m2,m3 & m6,m7 | 0-1- |
m2,m6 & m3,m7 | 0-1- |
Kubus-2 | |
m0,m2 & m8,m10 | -0-0 |
m2,m3 & m6,m7 | 0-1- |
Jika pasangan minterm menghasilkan kode biner yang sama maka cukup ditulis salah satu saja. Sehingga tabel kubus-2 menjadi :
A.4. Jika masih menungkinkan lakukan pemasangan lagi terhadap data pada kubus-kubus berikutnya hingga tidak ada lagi data pada kubus terakhir yang bisa dipasangkan lebih lanjut.
A.5. Jika sudah tidak ada lagi yang bisa dipasangkan seperti pada kubus-2, sebenarnya kita sudah mendapatkan prime implikant.
Kubus-2 | ||
m0,m2 & m8,m10 | -0-0 | ** |
m2,m3 & m6,m7 | 0-1- | ** |
Pada contoh ini kita mendapatkan 4 prime implicant yaitu :
m8,m9 → 1 0 0 -
m9,m13 → 1 - 0 1
m0,m2 & m8,m10 → - 0 - 0
m2,m3 & m6,m7 → 0 - 1 -
B. Memilih prime implicant untuk menentukan ekspresi dengan jumlah literal sedikit
B.1 Susun tabel prime implicant (lihat tabel berikut ini).
Flag | Prime Implicant | m0 | m2 | m3 | m6 | m7 | m8 | m9 | m10 | m13 |
m0,m2 & m8,m10 | * | * | * | * | ||||||
m2,m3 & m6,m7 | * | * | * | * | ||||||
m8,m9 | * | * | ||||||||
m9,m13 | * | * | ||||||||
B.2 Beri tanda ‘√‘ pada kolom flag untuk kelompok prime implicant yang memiliki kolom bertanda * satu buah saja
Flag | Prime Implicant | m0 | m2 | m3 | m6 | m7 | m8 | m9 | m10 | m13 |
√ | m0,m2 & m8,m10 | ê | * | * | ê | |||||
√ | m2,m3 & m6,m7 | * | ê | ê | ê | |||||
m8,m9 | * | * | ||||||||
√ | m9,m13 | * | ê | |||||||
Catatan : pada kelompok prime implicant m8, m9 tidak diberi tanda ‘ê’ karena tidak memiliki kolom yang hanya memua t satu tanda ‘* ’
B.3 Prime Implicant yang memiliki tanda ‘ê ‘ adalah yang terpilih untuk penyusunan fungsi boolean yang dimaksud.
Susun fungsi boolean berdasarkan prime implicat yang terpilih, yaitu :
m0,m2 & m8,m10 : - 0 – 0 → x’ z’
m2,m3 & m6,m7 : 0 – 1 - → w’y
m9,m13 : 1 – 0 1 → wy’z
Jadi fungsi boolean yang dimaksud adalah :
F(w,x,y,z) = x’ z’ + w’y + wy’z
Contoh dan POS dan SOP
Membuat ekspresi Boolean dalam bentuk SOP dan POS dari tabel kebenaran ini :
Penyelesaian :
a. Dalam bentuk SOP, maka yang dilihat adalah Y = 1
b. Dalam bentuk POS, maka yang dilihat adalah Y = 0
Tidak ada komentar:
Posting Komentar